第18章 統一數學的第一塊基石

　　1960年1月31日清晨，哥倫比亞大學數學系報告廳籠罩在紐約冬日的薄霧中。

　　林燃站在演講臺前等待著來自全球各地數學家的到場。

　　哥倫比亞大學的校長羅塞斯親自為其站臺。

　　這樣數學界的盛事，一旦證明了，哥倫比亞大學將戴上解決數學界數百年猜想的皇冠，數學系有倫道夫·林這樣的人才，在數學領域趕超普林斯頓和哈佛完全有可能。1

　　一想到數學能夠力壓老對手，羅塞斯內心就一陣激蕩。3

　　他甚至都想好了，要是這次的學術報告獲得了數學家們的一致認可的話，那后續的慶祝宴會上一定得把老校長給喊來參加。

　　老校長在華盛頓有個響當當的名字：艾森豪威爾。7

　　艾森豪威爾在結束軍隊生涯退伍后，大量公司希望邀請他擔任CEO或者董事長，但他最后選擇了接受哥倫比亞大學的聘請，當了四年后回到華盛頓。1

　　等到臺下的數學家們陸續到位后，坐在第一排最中間的正是格羅滕迪克。

　　對方才從巴黎趕來，所有數學家都主動把最好的位置讓給了他。

　　安德魯·韋伊正用紅藍雙色鉛筆在手稿邊緣標注批注，格羅滕迪克低聲與陪同的塞雷討論著什么，黑色皮面筆記本已翻開至第十七頁。1

　　當投影幕布映出費馬方程后，全場細微的討論聲戛然而止。林燃用教鞭指在橢圓曲線的模空間參數上：“假設存在整數解（a，b，c），則對應的弗雷曲線將在l-進伽羅瓦表示中引發矛盾。”

　　格羅滕迪克突然舉起了筆記本，上面用德文寫著：“Selmer群的結構如何規避Hasse原理的約束？”4

　　賽雷翻譯后，林燃說：“這正是模形式與橢圓曲線共生的關鍵。”1

　　林燃示意助手展開第三塊黑板，“通過構造伽羅瓦表示，當且僅當對應這一表示的模形式不存在時，費馬方程才有解——但模形式空間的秩為零這一事實，將徹底鎖死解不存在的可能性。”

　　韋伊的鉛筆突然停在半空，他打斷道：“弗雷曲線提供的矛盾是否足以支撐一般性證明？”

　　“當然。”

　　在第四十七分鐘，當林燃引入自守形式的Hecke代數作用于伽羅瓦群時，后排不斷有新的數學家從側門悄然入座。1

　　安德魯·韋伊想起了三個月前和友人的通信，恰好包含關于自守表示與伽羅瓦群對應的猜想。2

　　“這個證明的本質，是在模形式的世界與伽羅瓦群之間架設橋梁。”林燃切換黑板展示模曲線的復解析結構，“而這座橋梁我認為有著更廣泛的應用范圍。

　　也就是一直以來很多數學家希望找到的，數學不同領域間存在著深刻而精確的對應關系。

　　這種映射應該廣泛存在才對。”

　　在場做數論的數學家脖子僵硬的不行，也不敢偏轉，生怕錯過一丁點內容。3

　　橫跨多個領域的大牛在筆記本上急速書寫：“當費馬猜想被轉化為關于L函數的對稱性命題時，它為未來數學發展找到了一條路。”

　　格羅滕迪克站起身，對黑板上的內容表示希望有更深度的思考：“我需要驗證上同調層面的兼容性。”1

　　他在黑板上迅速勾畫出étale上同調群的交換圖式，“如果存在這樣的函子化對應，那么代數幾何將獲得進入自守形式領域的坐標卡。”3

　　中午的時候，所有數學家哪怕在食堂的間隙，也希望能圍在林燃身邊，和他討論關于費馬猜想證明的進一步理論。

　　不過大部分數學家沒有這個機會，能和林燃在一張桌子上的另外三個人哪個他們都擠不走。

　　代數幾何教皇格羅滕迪克，哥大數學系主任拉爾夫·福克斯和哥廷根大學數學系主任漢斯·赫爾曼·施瓦茨。

　　施瓦茨一直到1958年才擔任的哥廷根大學數學系主任，也就參加這次學術報告，他才知道本校學生證明了費馬猜想。1

　　后悔，是真后悔。

　　戰爭結束后的哥廷根大學，遠不復當年數學圣地的盛況，現在就大小蝦米三兩只。

　　和過去有著高斯、黎曼和希爾伯特，每一代都至少有一位當世頂尖數學家截然不同。

　　而林燃是有希望和上面三位比肩的，結果這樣的遺珠，他們哥廷根大學居然沒保住，給哥倫比亞大學給撿漏了。

　　等到下午三點時候，陽光斜射入報告廳，塵埃在黑板前懸浮如離散的數學符號。2

　　林燃開始處理反演定理在非同余子群上的限制條件時，韋伊舉起被標注得密密麻麻的論文預印本：“第4.2節的推導是否存在選擇素數的詭計？我需要確認對施瓦爾茨空間的遍歷是否足夠徹底。”

　　“這正是利用維特消去定理的精髓。”林燃調出數值計算結果投影，“當橢圓曲線的modular degree超過某個閾值時，其對應的模形式必為尖形式。”1

　　來自普林斯頓的米爾諾在筆記本上畫出五維流形圖示，突然向鄰座的阿蒂亞低語：“這個思路是否可以推廣到四維流形的微分結構分類？”

　　討論聲漸起如擴散的拓撲渦旋，直到林燃輕敲教鞭將眾人的視覺焦點重新凝聚在黑板上：“Selmer群的有限性在此是否發揮了類似黎曼猜想中的控制作用？”

　　整個學術會議足足持續了半個月時間。

　　最后的質疑來自格羅滕迪克，他覺得橢圓曲線與模形式對應的適用范圍還有待商榷。

　　林燃展示了特意為這次準備的終極武器：朗蘭茲綱領的局部對應關系全局化后的數學框架。

　　推出來的立式黑板顯示著由費馬猜想證明催生的新數學地圖，這是在整個會議開始前，特意準備好的東西，為在座的數學家們指明了未來可以做的內容。

　　其中模形式與代數幾何的交匯帶則標注著“不同領域對應的高速公路”。

　　格羅滕迪克在散場時仍倚靠墻邊修改筆記，韋伊主動留下的提問紙條被林燃折疊進漢斯·赫爾曼·施瓦茨專門送給他的費馬著作復刻本。

　　走廊盡頭的福克斯凝視著窗外哈德遜河，河面波紋仿佛在揭示著無窮維自守表示的振動譜線。3

　　大家突然意識到，數學史在這一刻裂解為兩段：一段終結于費馬定理的句點，另一段始于用新的理念重組數學的無限可能。

　　“倫道夫，你找到了統一數學的第一塊基石。”6

我看看是什么卡組直到退環境還在找最后一塊拼圖