第二十一章 上課
（五千字大章，后半段有大量的數學史科普內容，原本想直接略過的，畢竟將近兩千字的內容，可能會影響大家的閱讀體驗，不過仔細想想，還是留著吧，大家覺得有意思，那就仔細看看，如果覺得沒意思，可以直接略過）
龐學林當然明白劉廷波為何會如此興奮，在國內數學界，北大獨占鰲頭，復旦清華稍遜一籌，剩下的科大、交大、南大數學系排名幾乎都在江大之上。
這些年，江大數學系在國內發展不溫不火，幾乎沒出幾個特別有影響力的數學家，龐學林已經算是其中的佼佼者了。
這次龐學林如果證明了BSD猜想，其學術成就，在國內數學界足以自成一派。
到時候只要龐學林還在江大，那就是一棵可以與北大數院相抗衡的參天大樹，君不見自從丘成桐來了水木之后，這幾年，水木的丘成桐數學中心出了多少杰出的青年學者。
雖然水木的數學系和北大還有一定差距，但已經絲毫不在國內老牌數學強校復旦之下了。
龐學林的存在，將會起到和丘成桐類似的作用。
而這次BSD猜想報告會，將會是江大數院在國際數學界打響的第一槍！
接下來的幾天，數學界暗潮涌動，龐學林掛在arXiv上的論文，進入了大多數關注這一領域的數學家的視野。
甚至在國內的一些高校論壇，也開始漸漸有了關于龐學林證明BSD猜想的討論。
“聽說了嗎？BSD猜想被江大一個叫龐學林的教授給證明了！”
“龐學林是誰，沒聽說過啊！”
“你沒看新聞嗎？國內近年來新冒頭的一個天才數學家，才22歲就博士畢業發了一篇頂刊論文，師從陶哲軒教授，今年回國直接進江大擔任教授和博導。”
“看履歷是挺牛逼的，不過BSD猜想可是千禧年七大難題之一，怎么感覺不太靠譜啊！”
“我是聽我教授說的，那篇論文還在同行評審階段，據說已經得到了不少大牛的認可。”
“你教授誰啊？”
“阿克薩伊·文卡特什！2018年菲爾茲獎得主，主要研究領域為解析數論、拓撲學、表示論。”
“臥槽，原來是斯坦福的師兄，師兄在上，請受小弟一拜！”
諸如此類的討論不絕于耳，甚至連江大校園內，也有了類似的傳言。
2019年9月11日上午，今天是龐學林入職江大以來上的第一節課。
早上七點，他就早早來到了階梯教室。
上課時間是八點，龐學林到的時候，教室空無一人，龐學林在第一排找了個位置坐下，然后打開電腦，繼續撰寫報告會的PPT。
大概過了二十來分鐘，龐學林忽然感覺鼻間傳來一陣香風，抬起頭，便看到一個身材高挑，高鼻深目，臉型精致，看起來有點像混血兒的漂亮女生在教室第一排坐下。
他們所在的教室是一個大型階梯教室，兩人隔著通道坐在第一排，龐學林坐在通道的左側，那名女生則隔著通道坐在另一側。
兩人目光對視，那名女生朝龐學林淺淺一笑，說了聲早。
龐學林朝她點了點頭，沒有說話。
過了一會兒，那女生見龐學林噼里啪啦地敲擊鍵盤，便起身走到龐學林身側，有些好奇道：”同學，你這是在干什么？“
“做一份PPT！”
“你這是要做什么報告嗎？對了，我以前怎么沒見過你，你也是來蹭課的？今天是龐神的第一節課，好多其他專業的同學都來膜拜學神呢。“
龐學林微微一愣，抬起頭道：“那你呢？”
那女生道：“我就是數學系的，抽象代數是基礎課，當然不用蹭課的了。“
龐學林不由得為之一愣，數學系男女生比例向來懸殊，這么漂亮的女孩子居然選擇了學數學，他們班男生有福了。
這時，那女生又道：”不過今天就能見到偶像了，想想就讓人激動。嘻嘻，你還聽過一個消息沒，現在論壇上都在說龐神證明了BSD猜想，那可是千禧年七大難題之一，據說克雷研究所還開出了一百萬美元的獎金。“
“我想龐教授應該不是為了那筆錢做研究的吧！”
那女生白了他一眼，說道：“那當然不是了，但你不覺得龐神很厲害嗎？人家才23歲呢，和我們算是同齡人，就已經是我們學校的正教授了，有時候和人家一比，我都感覺自己這二十年算是白活了。”
龐學林點頭道：“所以你才應該更加努力！”
女生舉著小手，道：“對，一定要更加努力，我的目標就是在兩年后考上龐神的研究生，嘻嘻！”
龐學林有些無語地看了這女生一眼，這姑娘挺養眼的，不過看起來怎么不太聰明的樣子？
以后她如果真報考自己的研究生，自己恐怕得好好考慮了，這么一個嘰嘰喳喳話嘮徒弟，估計自己會被她煩死。
不過還好，那姑娘見龐學林將注意力重新轉回電腦，也不好意思繼續打攪龐學林，坐在一旁專心看起了書。
過了一會兒，陸陸續續開始有人進來，那姑娘似乎知名度還挺高，也許和她大大咧咧的性格有關系，好多人都過來和她打招呼。
特別是她的閨蜜到來后，姑娘又恢復了話嘮的本質，嘰嘰喳喳說個不停。
或許真是為了過來膜拜學神，今天三百多人的階梯教室，被擠得滿滿當當，甚至連過道上也坐滿了人。
時間一分一秒過去，不知不覺到了八點整。
“咦，時間到了，龐神怎么還沒來。”
“不會吧，龐神第一天上課就遲到了？”
“據說抽象代數特別難，概念超多，希望龐神上課不要照本宣科，否則期末考試就麻煩了。”
學生們議論紛紛，龐學林面不改色，合上筆記本，走上講臺，戴上了用來擴聲的麥克風，淡淡道：“大家好，我就是大家口中的龐神龐學林，本學期由我負責抽象代數課程的教學工作。今天第一次開課，人來的比較多，為了保證教學質量，所以還請大家盡量保持安靜，在下課前我會專門預留二十分鐘的提問時間，有什么問題大家可以到時候再問！“
嘩地一下，教室里一下子喧鬧了起來，誰也沒想到，龐學林就坐在教室的第一排。
坐在他身旁的那幾位學生，更是一個個目瞪口呆，壓根沒想到這個看起來斯斯文文有點小帥氣的男生，就是傳說中的龐教授？
特別是那個和龐學林搭過訕的漂亮姑娘，一臉呆滯，隨即對身旁的閨蜜哭訴道：“完了完了，小月，我剛才還找龐教授說話來著，還說要報考他的研究生，你說他會不會對我留下不好的印象啊？“
小月笑道：“艾艾，你這么漂亮，龐教授怎么可能會拒絕你當他的學生呢？”
“好啊，你敢說我有顏值沒智商！”
“噓，上課呢…龐教授就在講臺上，你該不會真想讓他對你留下不好的印象吧？話說龐教授真的很帥唉，特別是在講臺上的樣子，特別有魅力！“
“你…哼！”
艾艾瞪了閨蜜一眼，見龐學林的目光掃了過來，連忙一縮腦袋，嘴角微微翹起：“龐神真的有點帥哎！”
龐學林沒有在意臺下的喧鬧聲，說道：“好了，下面我們進入正題，本學期大家要學習的抽象代數這門課，又被稱作近世代數，誕生于十九世紀。它包含有群論、環論、伽羅瓦理論、格論、線性代數等許多分支，并與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科，抽象代數也是現代計算機理論基礎之一。”
“從某種程度上說，抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。所以，抽象代數雖然是基礎課，但對于大家未來不管在學術領域還是應用領域，都有著非常重要的作用。“
“不過抽象代數概念繁雜，理解起來難度很大，如果按照教科書中直接從概念開始講，我估計大家都會感覺很茫然。但是抽象代數既然有代數這兩個字，那么肯定和解方程有關，今天這節課，我就先從方程的求解史開始講起。“
“方程在數學史上的地位很高，早在公元前兩千多年，古巴比倫時期的人們就已經會列一元一次方程了，即ax+b=0。不用我說，大家都應該知道，它的求根公式是-b/a。但在古巴比倫時期，那時候只有整數，那古人怎么理解b/a呢？于是就引入了分數這個概念，分數和整數加在一起，統稱有理數。“
“不僅如此，古巴比倫人還會列一元二次方程，即ax^2+bx+c=0，但這類方程古巴比倫人沒有研究透，只能給出一些特定的整數解和分數解。等到了古希臘畢達哥拉斯學派，他們雖然沒有發現一元二次方程的根解式，但卻發現了一些特定方程的解。比如說在研究勾股定理的時候，他們發現，邊長為1的正方形，它的對角線長度可以列方程求解。”
龐學林起身在黑板上寫下：1^2+1^2=x^2，x=√2。
“于是為了求解一元二次方程，引入了無理數。但大家有沒有發現，這里沒有它的負根，原因很簡單，歐洲人認為負數沒有意義，一直到十七世紀牛頓、萊布尼茨時期，他們才接受了負數的概念。而在中國，早在公元前的先秦時期，就有了負數的概念，這個就和文化傳統有關了…”
“一元二次方程的根解式，最早是由公元八世紀波斯數學家花拉子米給出來的，不過他也只給出了正根，后來他的這個解法傳到歐洲，在負數的概念引入之后稍加改良，就是我們現在知道的一元二次方程根解式了。”
龐學林頓了頓，拿起講臺上的一瓶礦泉水潤了潤嗓子。
原本安靜的教室響起一陣嗡嗡嗡的議論聲，今天有不少學生壓根不是數學系的人，都是來看個熱鬧，膜拜一下學神，卻沒想到，龐學林講起課來并沒有讓大家覺得生澀，反而有種不疾不徐，信手拈來的感覺。
這讓眾人很驚奇。
畢竟，很多大牛學術很強，但授課的時候表現得卻并不怎么樣，要么照本宣科，要么晦澀難懂。
反而龐學林將數學史掰開來講，給眾人一種耳目一新的感覺。
龐學林沒理會下方的喧鬧，繼續道：
“有了根解式，只要隨便把系數代入進去，就可以輕松求解，所以數學家就開始相繼尋找三次方程、四次方程的根解式。”
“三次方程的根解式由十六世紀文藝復興時期意大利數學家費羅和塔爾塔利亞給出，費羅給出了x^3+px=q的根解式，這里你或許會覺得這個三次方程不具備一般意義，但是假如將p和q用復數表示的話，所有三次方程都可以用這種形式表示。但那時候還沒有復數的概念，所以意大利另一位數學家塔爾塔利亞給出了一般一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的根解式，也就是所謂的卡爾丹諾公式…“
龐學林起身在黑板上用粉筆刷刷刷地寫，費了一大半的黑板，將卡爾丹諾公式表示了出來。
“大家有沒有發現，卡爾丹諾公式中，出現了需要給-3開根號的問題，但那時候還沒有復數，由此，人們開始對負值開根號的問題起了興趣，這才有了后來的復數域。從某種程度上說，為了求解一元三次方程，人們又引入了復數的概念。在卡爾丹諾公式出來后沒過幾年，卡爾丹諾的一位學生費拉里又給出了一元四次方程的求解公式。至此，一二三四次方程的根解式都出現了。”
“于是人們認為，一元五次方程的求根公式也不遠了，卻沒想到接下來的數百年時間，人們卻一直沒有找到答案。于是大家開始想辦法將這個問題簡化，先證明一元五次方程到底有沒有根。這事就是大名鼎鼎的數學小王子高斯干的，高斯證明了對于任何一個非零的一元n次復系數方程，都恰好有n個復數根。這個便是代數基本定理，即使一元二次方程的判別式小于零，它也有兩個復數根。那么五次方程，就應該有五個根。“
“既然有根，那就應該有根解式吧，于是人們繼續尋找，這個問題，便是由挪威的天才數學家尼爾斯·阿貝爾解決的。如果大家不認識阿貝爾是誰，也應該聽說過數學界最高獎項之一的阿貝爾獎，就是以他的名字命名的。”
“阿貝爾并沒有給出五次方程的根解式，他反而證明了五次方程不存在根解式。這就很厲害了，在數學界，想要證明一個東西不存在，往往要比證明它存在還要難上許多。”
“這個阿貝爾，就是我們今天要重點講的一個人物。阿貝爾1802年出生于挪威，17歲的時候，他就寫了一篇論文，內容是他發現了五次方程的根解式。后來他發現這篇論文有幾個錯誤，于是潛心學習，繼續修改，四年后，他得出了新的結論，一元五次方程沒有根解式。他還推出了一個定理，叫做阿貝爾·魯菲尼定理，但是因為這篇論文太過高深，當時的職業數學家都看不懂，所以一開始也沒有引起人們的關注。”
“阿貝爾的這篇論文還曾經給高斯看過，高斯認為這不過是一個21歲小孩的無理取鬧，這就意味著，阿貝爾想要把自己的論文發表出來都很難。幸好阿貝爾還有個朋友叫克雷勒，他創辦了一個數學雜志，于是阿貝爾便將這篇論文發表在了這個上面，在之后的幾年內，阿貝爾又在很多領域都做出過貢獻，但主流數學家都不太接受，他還曾經將自己的論文寄給大名鼎鼎的數學家柯西，結果柯西更加高冷，壓根看都不看。阿貝爾27歲那年英年早逝，直到他去世之后，人們才發現，他的論文，篇篇都是經典。”
“阿貝爾證明五次方程沒有根解式的方法，其實就是我們在抽象代數中將要學習的群論，但是他沒有系統地提出來，只是利用群論的思想，將這個問題解決。結果沒過幾年，又出現了一位天才，那就是伽羅瓦，伽羅瓦用同樣用群論的思想得出了五次方程不存在根解式，他還給出了對于任意高次方程，在什么情況下有根解式，什么情況下沒有根解式。而且伽羅瓦還首次提出了群的概念，開創了現代代數學的先河。”
“在我個人看來，伽羅瓦的成就在數學史中，足以排在前三。伽羅瓦1811年出生在法國，和阿貝爾類似，他在16歲那年同樣以為自己發現了一元五次方程的根解式，但后來又自己證明五次方程不存在根解式。十九歲那年，伽羅瓦投身法國革命，20歲被捕入獄，21歲出獄后，與人決斗身亡，在決斗前三天，伽羅瓦仿佛意識到自己沒辦法在這次決斗中幸存下來，于是他便奮筆疾書寫下一篇論文，這篇論文，便是群論的開端，又被稱作伽羅瓦理論。但這篇論文始終沒有被數學界所接受，一直到1843年，伽羅瓦去世十一年后，數學家劉維爾發現了這篇論文，將其發表，引起巨大轟動。伽羅瓦理論，終結了數學界四千多年的方程求解史，也開啟了群論的開端。“
“伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，并把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對于物理學、化學的發展，甚至對于二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。”