第八章:間接路線
走進會議室時，孟仞回想起了自己的考研復試。那時面試也是在一間會議室里進行，他在長桌的一頭，學院的老師們坐在桌子兩側，一個又一個的問題問得他滿頭是汗。現在這間會議室中間沒有長桌，倒是在四周各擺了幾張幾案。孟仞恭恭敬敬地站在東面的幾案前，沒有資格落座；西面正對著他的是館首、匡先生和周先生；南北兩側各坐著兩個導師，孟仞都不認識，不過南側靠近他的導師發言之后，孟仞聽出那正是顏笙的聲音。
“考核現在開始。”顏笙說道，舉起案上的一把小錘，敲了一下擺在她面前的一尊約莫一尺高的銅鐘。她沒有馬上接著說下面的話，而是等鐘聲完全消失之后才開口：“本次考核采用投票制，四人及以上同意通過即視為考核通過。學徒孟仞，闡述你未來的研究計劃。”
孟仞朝各位導師依次施禮，禮畢之后又說了幾句場面話充作開場白。這一通繁文縟節終于結束之后，孟仞微微一笑，開始了他的正式陳述。
“腦理學是一門實驗學科，其一大根基是數據統計。然而現在的統計方法，卻充滿了謬誤。”
這個世界的腦理學固然落后了他半個多世紀，但是更可怕的是數學，他們竟然連微積分都還沒發展出來。好多學科因為缺乏數學工具而舉步維艱，腦理學能發展到今天，也是仰仗了其不太依靠數學的特點。不夠數學化，這原本是一大劣勢，如今反倒成了優勢。
沒有微積分，數理統計學的許多內容也就無從談起，甚至連方差和標準差都沒有人提出。
“設想這樣一個場景，一群人做一個智力測試，平均分數是一百零五分，我們怎么判斷這群人的分數是否比一百分更高？只看平均數的話，當然可以對這個問題回答‘是’，但是如果有一些人的分數低于一百分呢？這些人怎么算？”
坐在北側的一個導師打斷他道：“這些我們都知道，說重點。”
“晚輩正要說到重點。我們會計算這些人的分數距離平均數的差值的平均值，如果平均數減去平均差仍然高于一百分，我們就認為這群人的分數高于一百分。但我想說的是，這種統計方法是有很大漏洞的。”
“說出你的理由。”
“要減去平均差，是因為我們擔心這群人的分數是偶然高于一百分。如果再測一次，說不定分數又掉到一百分以下了。這個想法固然沒錯，但是不知諸位先生是否想過，假設測試的次數足夠多，而且每次測試互不影響的話，這些測試的平均分應當是一個什么分布？”
在場的幾位導師思維都頗為敏銳，一條鐘形曲線在他們的腦中迅速成形。待他們竊竊私語一陣之后，孟仞自己拋出了解答：“顯然，大部分的分數應當聚集在他們的真實水平周圍，剩下的分數散落在離真實水平較遠的地方，并且越遠頻率就會越低。我要提出的研究計劃之一，是求出這個分布的表達式，也就是分數出現的頻率和分數的關系。”
顏笙語氣溫和地問道：“你的意思是，只要取樣次數足夠多，這些樣本的平均值會滿足同一個分布？”
孟仞答道：“正是。”
匡先生說道：“這么快就要推廣到所有情況？不覺得這太武斷了嗎？”
“不，對此我很有把握。只要每次抽樣都是獨立同分布，那么樣本平均值的分布一定是一條鐘形曲線。”
導師們似乎忘記了這是一場考核，圍繞孟仞的觀點爭論了起來，就連周先生也被吸引進去，發表了幾句自己的看法。這幾位搞腦理學的學者數學水平其實都不高，他們的爭論完全是基于直覺，饒是如此，仍然有人提出了更加接近本質的看法。館首說道：“我看不止是平均值，其他的統計指標恐怕也會趨于一個鐘形的分布。”
不愧是館首。孟仞暗自贊嘆道。
還沒轉過彎來的幾個學者并不因為他是館首就買他的賬，依然認為這種看法過于武斷。最后，匡先生終于向孟仞提出了直擊靈魂的拷問：
“怎么證明呢？”
雖然孟仞自詡數學水平還行，有把握花上個把月時間把剛剛講的中心極限定理證明出來，但要讓他現場推演，卻是高估了他的數學能力。不過他早已預備了另一手：“要做出證明，還需預備一些引理，晚輩今日恐怕無法在現場給出完整的過程。”
館首打圓場道：“既是研究計劃，想必還沒有完成，也不強求能在今日得到完整的證明了。不過必須要說明的是，你的數學直覺還是不錯的。”其他人也大都贊許地點頭。周先生譏諷了一句：“我看倒不如把他轉到數學館去。”但是并沒有人理他。
“再說說你的引理。”匡先生說道。
“單純稱其為引理的話，諸位先生恐怕很難看出這條引理能用在證明的什么地方，晚輩也很難講清楚。這樣吧，我們設想一個應用場景：假設這條鐘形曲線確實是正確的，那么曲線下面包圍的面積代表什么呢？顯然是總的概率。如果一群人做智力測驗的平均分是一百零五分，平均差是五分，那么重新進行測試，他們的分數掉到一百分以下的概率是多少？”
眾人啞然。
“現有的統計方法根本就沒有在意這個概率，當然也不知道應該怎么計算這個概率——因此我才會說現在的統計方法有很大的漏洞。這也就是我要提出的研究計劃之二：得出計算曲線下面積的通用方法。”
顏笙評論道：“感覺可以用跟‘割圓術’類似的方法。”
孟仞本來也不想直接提牛頓-萊布尼茨公式，因為他忘記了應該怎么證明。見顏笙提到了割圓術，他便順著說了下去：“顏先生說得不錯。我們可以把曲線和坐標軸圍成的形狀分割成很多個矩形，只要知道每個矩形的高度，就能算出整個形狀的面積。但我要強調的是，所謂‘很多個’，指的是無窮多個，無限細分之后，我們才能夠算出形狀的準確面積，而不是估算。”
顏笙旁邊的導師說道：“不管分得多細，總歸是有誤差的吧。”
孟仞搖頭道：“無窮和有窮是截然不同的。無窮是只能趨近而不能達到的，當細分的次數無限趨近無窮時，矩形的寬度將小于所有的正數，面積的誤差也將小于所有的正數。為了方便理解，我們可以將‘小于所有的正數’理解為‘零’。”
“寬度為零，那么面積也為零。無限個零相加，自然還是零，怎么得到你想要的面積？”
“所以我才強調說，無窮和有窮是截然不同的。理解為零是為了方便使用，而不是嚴格的定義。應當先求和，再取趨向于無窮的極限，而不是先取極限再求和。”
學者們已經被弄糊涂了。理解數學語言不是一件簡單的事情，更何況孟仞為了表達的簡潔省略了很多東西。孟仞自己也不是數學系的學生，對這些定義理解得并不透徹，他感覺要是再被問問題的話，自己就要露怯了，于是趕緊乘勝追擊，沒給他們接著提問的機會：
“關于這一問題，完整的證明也是不好通過口頭表述的。不過，一旦這項引理中的問題得以解決，不僅將對腦理學大有助益，而且將對數學中的幾何問題，物理學中的變力做功問題帶來極大的幫助。”
眾人再度竊竊私語起來。館首從座位上起身，抬起手示意眾人安靜，然后說道：“如果大家沒有意見的話，我們就開始投票。”
匡先生大概是覺得孟仞兩年之內發表兩篇論文不成問題了，說道：“我先投個贊成票。”
周先生卻咧出一個笑容道：“先不急著投票吧，在腦理學館讓學徒研究數學問題，似乎尚無此先例。再說，這個學徒我是了解的，根本就沒有多高的才能，今天說不定只是吹噓而已。”